Príspevky členov Učenej spoločnosti Slovenska
Derivácie a integrály neceločíselného rádu a ich aplikácie
prof. RNDr. Igor Podlubný, DrSc.
Technická univerzita v Košiciach, Fakulta baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológií
Táto oblasť, známa pod zaužívaným anglickým názvom “fractional calculus”, predstavuje rýchlo sa rozvíjajúcu oblasť výskumu a aplikácií. Je to spôsobené tým, že aktuálne potreby matematického modelovania a riadenia procesov vedú k požiadavkám na dosiahnutie vyššej adekvátnosti matematických modelov procesov a systémov. Zvlášť výrazne sa táto požiadavka prejavuje pri modelovaní väzkopružných materiálov, pri modelovaní elektrických vlastností polymérov a z nich vyrábaných elektrických súčiastok, pri modelovaní takzvanej anomálnej difúzie v jej rôznych podobách, pri modelovaní mechanických a elektrických vlastností biologických materiálov a vo viacerých iných oblastiach.
Rozvoj aplikácií si vyžadoval tak usporiadanie existujúcich ako aj vývoj nových metód a prostriedkov, a tiež ich spojenie do jasného a zrozumiteľného systému, ktorý by bol použiteľný z hľadiska vedcov a inžinierov z rôznych odborov.
Objasnenie vzťahov medzi rôznymi definíciami derivácií ľubovoľného reálneho rádu prispelo k prudkému rozvoju rozmanitých aplikácií.
Metóda Laplaceovej transformácie s využitím Mittag-Lefflerových funkcií a metóda Greenových funkcií pre diferenciálne rovnice neceločíselného rádu sa stali štandardnými prostriedkami.
Princíp krátkej pamäti sa štandardne používa pri numerických výpočtoch derivácií ľubovoľného reálneho rádu a pri riešení diferenciálnych rovníc s takými deriváciami.
Maticový prístup k diskretizácii derivácií a integrálov ľubovoľného reálneho rádu predstavuje jednotný rámec pre používanie diferenčných schém pri numerickom riešení obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc tak celočíselného, ako aj neceločíselného rádu.
Navrhnuté PI-lambda-D-mu-regulátory sú ucelenou ilustráciou aplikácie rozpracovaných nástrojov a jedným zo súčasných smerov v oblasti automatického riadenia.
Mittag-Lefflerova stabilita dynamických sústav ľubovoľného reálneho rádu predstavuje nový smer v oblasti zovšeobecnenia klasickej teórie stability.
https://scholar.google.com/citations?user=4H2CInEAAAAJ&hl=en
https://www.amazon.com/Igor-Podlubny/e/B001JS08VS
![Image1](/wp-content/uploads/science/44_20201121091619_A.png)
Základná myšlienka – od celého k necelému, od celočíselného k neceločíselnému.
Rozvoj matematických metód je v zásade reakciou na potreby rozvoja vedy a techniky.
Prvá zmienka o derivovaní neceločíselného rádu sa vyskytla už 30. septembra 1695.
K rozvoju koncepcie derivácií neceločíselného rádu prispeli aj Leibniz, Euler, Fourier, Abel, Liouville, atď.
![Image2](/wp-content/uploads/science/44_20201121091619_B.png)
Geometrická interpretácia integrálu neceločíselného rádu (“shadows on the walls”) bola rozpracovaná až po viac ako 300 rokoch (Podlubný, 2002). O desať rokov neskôr bola rozpracovaná aj interpretácia derivácie distribuovaného rádu (Podlubný et al., 2012).
![Image3](/wp-content/uploads/science/44_20201121091619_C.png)
“Matrix approach” (Podlubný, 2000; Podlubný et al., 2009, 2013) je veľmi názornou a ľahko použiteľnou metódou na numerické riešenie rôznych typov obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc ľubovoľného reálneho rádu, premenlivého rádu a distribuovaného rádu. Použítie Mittag-Lefflerovej funkcie pre identifikáciu parametrov modelov umožňuje tvorbu modelov neceločíselného rádu na základe experimentálnych dát.